Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Контрольная работа
Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Вариант №8

 
1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной форме:
z=(1-3i)(1+3i)/(-i(3+i) )-2i^18
2. Вычислить по формулам Муавра
z^10=(-2+2i)^10
3. Разложить многочлен   x^4+x^3-4x^2+2x-12       на неприводимые множители в R и линейные множители в С, пользуясь схемой Горнера. Сделать проверку.
4. Вычислить, пользуясь свойствами определителей.
|■(3&4&-3&-1&-2@-5&6&;5&2&3@-4&9&;3&-7&5@-1&-4&;1&1&-2@-3&7&;5&2&1)|
5. Доказать совместность системы и найти решение: а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) в матричном виде.
{█(5x-3y+2z=10@5x-2y+3z=15@-4x+5y+3z=11)┤
6. Показать, что векторы   a ⃗_1=(3;-7;5;0),〖  a ⃗〗_2=(-3;0;7;0),a ⃗_3=(2;3;-5;4),a ⃗_4=(1;2;0;7)  образуют базис. Найти разложение вектора b ⃗=(-10;8;25;-1)  в этом базисе. Сделать проверку.
7. Образуют ли линейное пространство множество многочленов третьей степени?
8. Найти вектор Фробениуса матрицы
A=(■(3&0&1@1&0&;3@5&4&;6))
9. Исследовать по определению, являются ли векторы a ⃗=(4;3;1),b ⃗=(5;0;-4),c ⃗=(2;1;-2),d ⃗=(0;12;6)    линейно зависимыми?
10. Найти общее решение, частное решение и фундаментальную систему решений данной системы уравнений
{█(〖3x〗_1-x_2-2x_3-x_4+x_5=0@〖2x〗_1-x_2+3x_3-x_4+2x_5=0@5x_1-2x_2+x_3-2x_4+3x_5=0)┤
11. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы
F(x_1 〖,x〗_2 〖,x〗_3 )=5x_1^2-4x_1 x_2-2√2 x_1 x_3+4√2 x_2 x_3+4x_2^2+2x_3^2
12. Найти расстояние между прямыми
{█(x=2+2t@y=-1+t@z=3t)┤        и            {█(x-y-z+5=0@x+2y-6=0)┤
13.Найти точку M_0 (x_0,y_0,z_0 )    симметричную точке M(3;3;3)  относительно прямой
(x-1)/(-1)=(y-1,5)/0=(z-3)/1
14.  Найти расстояние от точки M(1;2;1)   до плоскости x-2y+3z+1=0.
15. Найти каноническое уравнение кривой -3y^2+4xy-4x+10y-6=0 и построить ее.